Secuencia de Fibonacci

Esta secuencia, posee muchas propiedades interesantes que la hacen un elemento de estudio para muchos cxientificos interesados en el enigmatico misterio de su creación  sobretodo por las propiedades matemáticas que presenta. Pero una de los aspectos más relevantes de esta secuencia es que se presenta en nuestro mundo natural, muy a menudo y probablemente sin que nos demos cuenta. Veamos algunos ejemplos:

Representación Geométrica del Numero de Fibonacci. El siguiente número viene dado por la suma de la longitud de los lados de los cuadrados anteriores.

Si trazamos una curva partiendo desde el orígen tendremos una espiral llamada de Fibonacci, cuyo tamaño aumenta progresivamente en relación a la secuencia…

…y que curiosamente se asemeja al caparazón (shell) del Nautilus, un cefalópodo que vive en las profundidades del océano:

En las anteriores imágenes, vemos la representación de la espiral de Fibonacci, pero no sólo se da para el caso del Nautilus, sino que puede verse en otros lados también:

Espiral de Aloe (múltiples espirales de Fibonacci) 

El video que prepare es una explicación sobre como hacer una función inversa y su comprobación, que es uno de los temas del curso

Rectángulo Áureo

El rectángulo áureo debe su nombre a la proporción existente entre su largo y su altura, porque éstos son relativos al número dorado.

Un rectángulo se puede descomponer en dos piezas: un cuadrado con el lado menor y otro rectángulo. 

Para obtener el segundo rectángulo, semejante al anterior, se realiza éste procedimiento:

1) Empecemos con un cuadrado normal.

2) En seguida, calculamos la mitad de la base y unimos al vértice superior.

3) Trazamos una línea recta a partir de la mitad que marcamos en el paso 1, y ésta debe tener la misma longitud que la línea que resultó en el paso 2.  La sección de ésta línea que queda aparte, será b.

4) Copiamos la altura del cuadrilátero (a) para completar otro rectángulo. 

5) De ésta manera, tenemos la siguiente ecuación, que dará como resultado el número dorado. Por lo tanto, éste es un rectángulo áureo.

Si partimos de un rectángulo áureo como el del paso 4, podremos observar que el proceso de descomposición en cuadrados y otro rectángulo áureo resultará en un procedimiento infinito.

El proceso infinito sugiere que el número dorado es irracional. Lo explicaremos de otro modo:

•  La razón de oro puede escribirse en términos de sí mismo: 

, es decir, 1.61803... = 1 + 1/1.61803...

• Siendo así, ésto deriva en una fracción que no acaba nunca, que se llama "fracción continua": 

El hombre de Vitruvio, Da Vinci y el Número de Oro

Hombre de Vitruvio, Leonardo da Vinci

Un caso digno de hacer mención en lo referente a la relación arte-razón áurea, es el hombre de Vitruvio, creación de Leonardo da Vinci. Marco Vitruvio fue un destacado arquitecto romano del siglo I a. C., quién publicó un trtado de arquitectura, escrito entre el 27 y el 23 a. C. En dicho documento, Vitruvio hacía mención de las proporciones que consideraba "ideales" para la figura humana: 

"... El ombligo es el punto central natural del cuerpo humano, ya que si un hombre se echa sobre la espalda, con las manos y los pies extendidos, y coloca la punta de un compás en su ombligo, los dedos de las manos y los de los pìes tocarán la circunferencia del círculo que así trazamos. Y de la misma forma que el cuerpo humano nos da un círculo que lo rodea, también podemos hallar un cuadrado donde igualmente esté encerrado el cuerpo humano. Porque si medimos la distancia desde las plantas de los pies hasta la punta de la cabeza y luego aplicamos esta misma medida a los brazos extendidos, encontraremos que la anchura es igual a la longitud, como en el caso de las superficies planas que son perfectamente cuadradas."

Inspirado al leer la reedición de De Architectura, Leonardo da Vinci se dispuso a hacer su propia versión de aquél humano idealizado que Vitruvio describió. Y esto fue lo que obtuvo:

Ésta obra, celebre sin duda, fue un reto incluso para el genio de da Vinci. Sin embargo, es una muy fiel reproducción a lo descrito por Vitruvio. A pesar de ésto, hay muchos detractores que dicen que el dibujo no cumple con los parámetros de la razón áurea. ¿Por qué? Es porque la razón dorada de ésta ilustración es igual a 1.642, difiriendo en un 1.5% a la razón áurea verdadera. 

Así que es un reto descubrir si en verdad la intención de da Vinci fue ilustrar con base a la razón dorada el escrito de Marco Vitruvio. Aún así, "el hombre de Vitruvio" sigue siendo usado como un ejemplo clásico del número dorado en el arte. Lo mismo sucede con otras obra de da Vinci, incluso con la muy famosa Gioconda.

Entre los artistas que hicieron uso de la razón dorada, podemos mencionar a Sandro Botticelli, Charles Édouard Jeanneret-Gris "Le Corbusier", José de Ribera y Cucó, Johannes Vermeer, Salvador Dalí y Paul Klee.


La razón áurea estuvo presente en las manifestaciones artísticas a lo largo de la historia, aunque con menor relevancia posterior al Renacimiento, quizá porque se perdió el interés, o tal vez solo por casualidad. Pero eso no logró eliminar su importancia en otros aspectos de la humanidad, por ejemplo las matemáticas.

El "número dorado" en la historia

Incluso en la naturaleza es posible encontrar
indicios del número dorado.

Se trata de un número con muchas cualidades, y no como de "unidad", sino como relación o proporción entre partes de un cuerpo o entre cuerpos que encontramos en la naturaleza, como caracolas, hojas de árboles y proporciones humanas.


Los griegos de la antigüedad clásica creían que la proporción conducía a la salud y a la belleza. Euclides, en su libro "Los Elementos", demostró que la proporción que Platón había denominado la sección, existía. Posteriormente fue nombrada sección  áurea. La definicion de Euclides fue la siguiente:


"Se dice que un segmento está dividido en su razón extrema y media cuando el total del segmento es a la parte mayor como la parte mayor a la menor." Libro IV, Definición 3.


Así, este precepto jugó un muy importante papel en las bases de la arquitectura y el arte griegos, como se puede observar en el Partenón de Atenas.

Realizado entre los años 447 y 432 a. C., el Partenón
fue construido con las bases de la "Sección Áurea",
como agradecimiento a los dioses por ganar las
 guerras Médicas.

Ya en el siglo XV, la sección áurea se consideraba de origen divino: se creía que encarnaba la perfección de la creación divina. El monje Lucca Pacioli, en su libro De divina proportione (1509), le dotó de un gran sentido religioso. Lo relacionó con la Santa Trinidad, debido  a que el número dorado está involucrado con tres segmentos de recta, además, decía que la presencia de éste número en diversos aspectos del mundo, era equiparable con la omnipresencia de Dios.

Luca Pacioli demostrando un teorema de Euclides.

Durante el Renacimiento, muchos artistas y escultores preservaron las proporciones del número áureo para crear sus obras. Podemos mencionar a Miguel Ángel y Alberto Durero, en cuyas creaciones de objetos o personas, siempre se mantuvo la proporción entre altura y ancho. Sin restar mérito a los mencionados artistas, ahondaremos en uno de los más sobresalientes genios de la historia: Leonardo da Vinci.

Razón Áurea

También conocido como número áureo o de oro, razón dorada, media áurea, proporción áurea o divina proporción.

Su símbolo es la letra griega "phi", en honor al escultor griego Fidias.

Letra Phi

Busto de Fidias

Matemáticamente, nace de plantear la siguiente proporcionalidad entre dos segmentos:

"Buscar dos segmentos tales que el cociente entre el segmento mayor y el menor sea igual al cociente que resulta entre la suma de los dos segmentos y el mayor."

Es decir, sean los segmentos: A el mayor, y B el menor, la ecuación quedaría así:

A/B = (A+B)/A

Cuando se resuelve, se llega a una ecuación de segundo grado, a la cuál debe aplicarsele la resolvente cuadrática para darle una solución.

Siendo así, el valor numérico de esta razón "fi" es: